Question

如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， ,.

（1）证明：直线平面；

（2）若的面积为，求四棱锥的体积；

Answer

(1)见解析 (2)

【解析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取中点，由于平面为等边三角形，则，利用面面垂直的性质定理可推出底面ABCD，设，表示相关的长度，利用的面积为，求出四棱锥的体积.

试题解析：

（1） 在平面内，因为,所以

又平面平面故平面

（2）取的中点，连接

由及

得四边形为正方形，则.

因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，

所以底面

因为底面，所以,

设，则，取的中点，连接，则,所以，

因为的面积为，所以，

解得（舍去），

于是

所以四棱锥的体积