Question

已知函数且.

（1）求a；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

Answer

（1）a=1；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立．

试题解析：（1）的定义域为

设，则等价于

因为

若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故

综上，a=1

（2）由（1）知

设

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增

又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.

因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点

由

由得

因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得

所以