Question

各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若恒成立，求k的取值范围；

（3）是否存在正整数m，k，使得a_m，a_m+5，a_k成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由．

Answer

(1)an=2n-1；(2)；(3)存在m=1，k=61满足题意.

【解析】试题分析：

(1)由题中的递推关系结合题意可得数列的通项公式为；

(2)首先裂项求数列的前n项和，然后结合恒成立的条件可得k的取值范围是；

(3)由题中的结论讨论可得存在m=1，k=61满足题意.

试题解析：

（1）∵，∴，

两式相减得，

整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，

∵数列{an}的各项均为正数，∴an-an-1=2，n≥2，

∴{an}是公差为2的等差数列，

又得a1=1，∴an=2n-1．

（2）由题意得，

∵，

∴=，

∴．

（3）∵an=2n-1．

假设存在正整数m，k，使得am，am+5，ak成等比数列，即

即（2m+9）2=（2m-1）•（2k-1），

∵（2m-1）≠0，∴，

∵2k-1∈Z，∴2m-1为100的约数，

∴2m-1=1，m=1，k=61．