Question

已知函数在上为增函数，且.

（Ⅰ）求函数在其定义域内的极值；

（Ⅱ）若在上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) 在处取得极小值1，无极大值;(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出θ的值，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；

（Ⅱ）构造，转化为：若在[1，e]上存在x1，使得F（x0）＞0，求实数k的取值范围，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出k的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）在上恒成立，即.

∵，∴.故在上恒成立

只须，即，又只有，得.

由，解得.

∴当时，；当时，.

故在处取得极小值1，无极大值.

（Ⅱ）构造，则转化为；若在上存在，使得，求实数的取值范围.

当时，，在恒成立，所以在上不存在，使得成立.

②当时， .

因为，所以，所以在恒成立.

故在上单调递增，，只要，

解得.

∴综上，的取值范围是.