Question

已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点（0,1）的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.

Answer

(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，结合题意分析可得，结合椭圆的几何性质可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；

（Ⅱ）由题意分析可得直线l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+1，联立l与椭圆C的方程，可得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0，结合根与系数的关系可以用k表示|MN|与O到l的距离，由三角形面积公式计算可得△OMN的面积 .，由基本不等式分析可得答案．

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的焦半距为，则，，.

所以，其中，又，联立解得，.

所以椭圆的方程是.

（Ⅱ）由题意直线不能与轴垂直，否则将无法构成三角形.

当直线与轴不垂直时，设其斜率为，那么的方程为.

联立与椭圆的方程，消去，得.

于是直线与椭圆由两个交点的充要条件是，这显然成立.

设点，.

由根与系数的关系得，.

所以 ，又到的距离.

所以的面 .

令，那么 ，当且仅当时取等号.

所以面积的最大值是.