Question

已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将的图像先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数.

（1）求的解析式，并求的对称中心；

（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.

Answer

（1），对称中心为：，（2）或.

【解析】试题分析：（1）相邻两对称轴间的距离为半周期,由,可得，按三角函数的平移变换,得表达式,函数为奇函数,得值,且过点得值,求出表达式后由性质可得对称中心；（2）由得的范围,将利用换元法换元,将问题转化为一个一元二次方程根的分布问题,利用判别式得不等式解得取值范围.

试题解析：

（1）由条件得：，即,则，

又为奇函数，令，，，，

由，得对称中心为：

（2）,又有（1）知：，则， 的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令则由原命题得：在上仅有一个实根.

令，

则需或，

解得：或.