Question

设是正数数列， ，且 ．求证： ．

Answer

见解析

【解析】试题分析： 放缩证明：先证，再证．前面用数学归纳法证明，后面用导数求证，再令，则有．由裂项相消法求和可得结论

试题解析:下面用数学归纳法证明：当， 时， ，

①当时， ，上述结论成立；

②设 时， 成立，则当时

所以当时，结论也成立．

综合①②得，对任意的， 都有．

当时， ；

当时， ．

下面证明： ，即证明 ．

设函数 ，则

，

所以在上是增函数，所以恒成立，即．

令，则有．

故

所以．

综上可得．