Question

已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是，且 (且)， .

(1)求证： 是等比数列，并求出数列的通项公式；

(2)对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

(3)设四边形的面积是，求证： .

Answer

(1) ， ;(2) ;(3) 见解析;

【解析】试题分析：(1)利用等比数列定义证明;(2) 不等式恒成立，即求的最大值，利用单调性，求出最值，进而转化为，对任意恒成立问题;(3)利用裂项相消法化简不等式的左侧即可.

试题解析：

(1)【解析】
由 (且)得 (且)

∵，∴，∴，(且)

∴是首项为3，公比为3的等比数列.

∴.

∴， .

(2)∵，

∵， ，又，

∴故数列单调递减，(此处也可作差证明数列单调递减)

∴当时， 取得最大值为.

要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，

则须使，即，对任意恒成立，

∴，解得或，

∴实数的取值范围为.

(3) ，而，

∴四边形的面积为

，

∴故.