Question

已知函数，.

（l）求的单调区间；

（2）若函数在区间内存在唯一的极值点，求的值.

Answer

(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2)或.

【解析】试题分析：（1）先求得函数定义域为，再利用函数的导数来求函数的单调区间。（2）即在区间上存在唯一零点，且为奇次零点。所以对函数g(x)求导 .由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减.而，所以g(x)最多两个零点，分别位于（0,1）和，所以现在只需在（0,1）和中各找一个，，使得，可找<0,，所以一定有两个零点，因为要找的区间长度为1，所以再找，可求得或.

试题解析：（1）由已知得，.

当时，由，得，

由，得.

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）因为 ，

则 .

由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.

又因为，.

所以在上有且只有一个零点.

又在上，在上单调递减；

在上，在上单调递增.

所以为极值点，此时.

又，，

所以在上有且只有一个零点.

又在上，在上单调递增；

在上，在上单调递减.

所以为极值点，此时.

综上所述，或.