Question

如图，在三棱柱中， 是边长为4的正方形.平面⊥平面， .

（1）求证： ⊥平面ABC；

（2）求二面角的余弦值；

（3）证明：在线段存在点，使得，并求的值.

Answer

（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：（1）由题意，可根据面面垂直的性质定理进行证明，因为平面垂直于平面，且交线为，又，从而问题可得证；在（2）、（3）由题意，可采用坐标法，再通过向量的共线、垂直关系，以及数量积等的运算，从而问题可得解.

试题解析：(1)证明 在正方形中， .

又平面平面，且平面平面，

∴平面.

(2)解:由(1)知， ，由题意知，

在中， ，

∴，

∴.

∴以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz.

，

于是 ，，，，

设平面法向量为，

令

与平面所成角正弦值为.

(3)假设存在点是直线上一点，使，且.

,解得，，

又，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0，解得，

因为，所以在线段上存在点D，使得.此时.