Question

已知函数， 为自然对数的底数.

（I）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;

（II）求函数的极值;

（III）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.

Answer

（1）（2）当时，函数无极小值；当， 在处取得极小值，无极大值．（3）1

【解析】试题分析：（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论， 时，无实数解， 时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围．

试题解析：（1）由,得．

又曲线在点处的切线平行于轴,

得,即,解得．

（2）,

①当时, , 为上的增函数,

所以函数无极值．

②当时,令,得, ．

,; ,．

所以在上单调递减,在上单调递增,

故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．

综上,当时,函数无极小值

当, 在处取得极小值,无极大值．

（3）当时,

令,

则直线: 与曲线没有公共点,

等价于方程在上没有实数解．

假设,此时, ,

又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．

又时, ,知方程在上没有实数解．

所以的最大值为．

解法二:

（1）（2）同解法一．

（3）当时, ．

直线: 与曲线没有公共点,

等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:

（*）

在上没有实数解．

①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．

②当时,方程（*）化为．

令,则有．

令,得,

当变化时, 的变化情况如下表:

当时, ,同时当趋于时, 趋于,

从而的取值范围为．

所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．

综上,得的最大值为．