Question

已知是定义在上的奇函数，当，，且时，有．

（）比较与的大小．

（）若，试比较与的大小．

（）若，，对所有，恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（）．（）．（）．

【解析】试题分析：(1)根据奇函数的定义可以知道,结合条件,令，,得出;
(2)只需判断函数的单调性即可.根据定义,只需分别令，,得出函数的单调性.
(3)恒成立问题可转化为恒成立,只需求出右式的最小值即可.构造函数记,看成关于b的一次函数,通过讨论t,确定函数的单调性,求出最值即可.

试题解析：（）∵是定义在上的奇函数，∴．

∵，令，，则：

，即．

∴．

（）设，，且，

在中，令，，则有：

．

∵，∴．

又∵是定义在上的奇函数，

∴，

∴．

∴，即．

故在上为增函数．

∵，

∴．

（）∵，且在上为增函数，

∴对所有的，总有恒成立．

则应有恒成立，即：

对任意恒成立，

记，若对恒成立，则恒成立．

则只需在上的最小值不小于即可．

①当时，，满足题意；

②当时，是减函数，故在上，在处取得最小值．

∴，解得或（舍）；

③当时，是增函数，故在上，在处取得最小值．

∴，解得：或（舍）．

综上所述，的取值范围是．