Question

如图所示， 矩形所在的平面， 、分别是、的中点．

（ⅰ）求证： 平面．

（ⅱ）求证： ．

（ⅲ）当满足什么条件时，能使平面成立？并证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当满足时，能使平面成立

【解析】试题分析：（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，可得，利用线面平行的判定，即可得出结论；（2）由线面垂直得，由矩形性质得，由线面垂直的判定定理可得平面，由此能证明；（3）当满足时，能使平面成立，可利用等腰三角形的性质以及线面垂直的判定定理证明.

试题解析：（ ）证明：取的中点，连接， ．

∵， 分别是， 中点，

∴，

又∵， 是中点，

∴，

∴,

∴四边形是平行四边形，

∴．

∵平面， 平面，

∴平面．

（）∵平面，

∴，

又，

∴平面，

∴，

又∵

∴．

（）当满足时，能使平面成立，

现证明如下：

∵， 是中点，

∴．

∵，

∴．

由（）可知，

∴平面．

故当满足时，能使平面成立．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面垂直的性质定理与判定定理，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.