Question

某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足（其中， 为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件.

（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.

Answer

（1）y=25－（+x），（0≤x≤a，a为正常数）（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）利润为总销售所得减去投入成本和促销费用，得y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x，又销售量t万件满足t=5－，整理化简可得y=25－（+x）；（2）将函数方程整理为对勾函数形式y =28－（+x+3），利用基本不等式得到= x +3，即x =3时，得到利润最大值为。

试题解析：

（1）由题意知，利润y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x

由销售量t万件满足t=5－（其中0≤x≤a，a为正常数）．

代入化简可得：y=25－（+x），（0≤x≤a，a为正常数）

（2）由（1）知y =28－（+x+3），

当且仅当= x +3，即x =3时，上式取等号．

当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；

当0＜a＜3时，y在0≤x≤a上单调递增，

x = a，函数有最大值．促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大．

综上述，当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；

当0＜a＜3时，促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大．