Question

已知函数， .

（1）当时，求的单调递增区间；

（2）设，且有两个极值，其中，求的最小值.

Answer

(1) ，当时F(x)的单增区间为（0，+）;当a1时，F(x)的单增区间为(0, )，();(2) .

【解析】试题分析：

（1）求导得到，再设为目标函数进行分类讨论；（2）对求导得到是的两根，所以根据韦达定理可以将双元问题转化为单元问题，从而设新函数求导即可解决问题。

试题解析：

(1)由题意得F(x)= x－－2alnx. x0, =,

令m（x）=x２－2ax+1，

①当时F(x)在（0，+单调递增；

②当a1时，令，得x1= , x2=

x

(0, )

()

()

+

－

+

∴F(x)的单增区间为(0, )，()

综上所述，当时F(x)的单增区间为（0，+）

当a1时，F(x)的单增区间为(0, )，()

（2）h(x)= x－2alnx, h/(x)= ,(x>0),由题意知x1,x2是x2+2ax+1=0的两根，

∴x1x2=1, x1+x2=－2a,x2=,2a=,

－= －=2()

令H(x)=2(), H/(x)=2()lnx=

当时，H/(x)<0, H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为H()=,

即－ 的最小值为.