Question

设函数定义在上，对于任意实数，，恒有，且当时，．

（1）求的值．

（2）求证：对任意的，有．

（3）证明：在上是减函数．

（4）设集合，，且，求实数的取值范围．

Answer

(1)1;(2)详见解析;(3)详见解析;(4) .

【解析】试题解析:(1) 令，可得：，，∴．(2) 当时，，∴，∴，由倒数关系可得时，，命题成立;(3) 任取，，且，根据单调性的定义利用配凑法证明即可;(4)化简集合A,,则与无交点,求出函数值域进而得出a的取值范围.

试题分析:

（）∵对于任意实数，恒有，

∴令，可得：，

∵当时，，

∴，

∴．

（）证明：当时，，

∴，

∴，

∴，

∴时，，

故对，都有．

（）证明：任取，，且，则：

，

，

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，即，

∴在上是减函数．

（），

，

，

令，，则，

对称轴，开口向上，

∴当时，取最小值，，

∴，

∵，，

∴，

即实数的取值范围是．