Question

已知函数的极小值为，其导函数的图象经过点，如图所示．

（Ⅰ）求的解析式．

（Ⅱ）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（-2，0），代入即可求出a、b之间的关系式，再根据f（x）极小值为-8可得f（-2）=-8，解出即可得到a、b的值；

（Ⅱ）将函数g（x）=f（x）-k在区间[-3，2]上有两个不同的零点，转化成k=f（x）在区间[-3，2]上有两个不同的根，即y=k与y=f（x）的图象在区间[-3，2]上有两个不同的交点，列出表格，即可求出实数k的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）∵，

由题可知： ，

解得， ，

∴．

（Ⅱ）∵在区间上有两个不同零点，

∴在上有两个不同的根，

即与在上有两个不同的交点，

，令，

则或，列表可知，

由表可知当或时，

方程在上有两个不同的根，

即函数在区间上有两个不同的零点．