Question

已知函数．

（Ⅰ）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围．

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅲ）求证．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的极值，在探讨函数在区间（其中a＞0）上存在极值，寻找关于a的不等式，求出
实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，把k分离出来，转化为求函数最值．（Ⅲ）借助于（Ⅱ）的结论得令，则有，∴，累加，放缩即可证得结论.

证明不等式．

试题解析：

（Ⅰ），∴时， ，此时单调递增；

当时， ，此时单调递减．

又，∴在处取得极大值，

∵若使得在区间上存在极值，其中，∴，

∴．∴的取值范围为．

（Ⅱ）不等式，

即恒成立，令，∴，

令，∴，∵，∴，∴在上单调递增，

∴，∴， 在上也单调增，

∴，∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知： 恒成立，即，令，则有，∴，∴，

；

；

，

叠加得： ，

∴，

∴，

∴，得证．