Question

在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知，．

（I）求证：平面．

（II）在线段上是否存在一点，使得平面，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．

（III）设点在内（含边界），且，求所有满足条件的点构成的图形，并求的最小值．

Answer

（1）见解析（2）（3）构成的图形是线段，包括端点，

【解析】试题分析：（1）由线面垂直得，由菱形性质得，再根据线面垂直判定定理得平面，（2）连接交于点，当是中点，由平几知识可得是平行四边形，即得，再由线面平行判定定理得结论（3）由线面垂直性质与判定定理可得，即得点构成的图形是线段，再利用三角形面积求O到直线距离，即得的最小值．

试题解析：（I）证明：∵底面，

∴底面，

又平面，

∴，

∵为菱形，

∴，

而，

∴平面．

（II）存在点，当是中点，即时，平面．

证明：连接，交于点，连接，则是中点，

∵，且，分别是，的中点，

∴是平行四边形，

∴，

又平面，平面，

∴平面，

∴当点与点重合时，平面，

此时，．

（III）在内，满足的点构成的图形是线段，包括端点，

连接，则，

∵，

∴要使，只需，从而需，

又在中，，

又为中点，

∴，

故点一定在线段上，

当时，取最小值．

在直角三角形中，，，，

所以