Question

如图，在正方体中，、为棱、的中点．

（Ⅰ）求证：平面．

（Ⅱ）求证：平面平面．

（Ⅲ）若正方体棱长为，求三棱锥的体积．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得EF//BD，再根据平行四边形性质得，从而有，再根据线面平行判定定理得平面（2）分析可得关键证平面，这可由正方形性质得，由正方体性质得平面，即得，最后根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理证得结论（3），三棱锥高为，再利用三棱锥体积公式可得体积

试题解析：（Ⅰ）

证明：连接，

∵且，

∴四边形是平行四边形，

∴．

又∵、分别是，的中点，

∴，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面．

（Ⅱ）证明：在正方体中，

∵平面，

∴，

又∵四边形是正方形，

∴，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面．

（Ⅲ），

∵，

∴．