Question

如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为．

（Ⅰ）求证：平面．

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．

Answer

（1）见解析（2）（3）点是线段靠近点的三等分点．

【解析】试题分析：（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，列方程解得点坐标，再确定位置

试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，

∴，

又∵是正方形，

∴，

∵，

∴平面．

（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，

∵与平面所成角为，即，

∴，

由，可知：，．

则，，，，，

∴，，

设平面的法向量为，则

，即，

令，则．

因为平面，所以为平面的法向量，

∴，

所以．

因为二面角为锐角，

故二面角的余弦值为．

（Ⅲ）依题意得，设，

则，

∵平面，

∴，即，解得：，

∴点的坐标为，

此时，

∴点是线段靠近点的三等分点．