Question

已知椭圆，其长轴为，短轴为．

（Ⅰ）求椭圆的方程，及离心率．

（Ⅱ）直线经过定点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值．

Answer

（1），离心率：．（2）1

【解析】试题分析：（1）根据条件可得，即得椭圆的方程，及离心率．（2）先设直线方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最大值

试题解析：【解析】
（Ⅰ），，，

∴椭圆的方程为：，离心率：．

（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，

由，得，

，

由得：，

设，，则

，，

，

又∵原点到直线的距离，

∴

．

当且仅当，即时，等号成立，

此时面积的最大值为．