Question

已知函数（且）．

（Ⅰ）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）令，设函数，且，求证：．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)利用导函数研究函数的单调性，将原问题转化为恒成立的问题，讨论可得实数的取值范围是；

(Ⅱ)由题意结合函数的单调性讨论函数g(x)的性质，结合函数的零点性质即可证得题中的结论.

试题解析：

（Ⅰ），

由为增函数可得，恒成立，则由

，设，则

，若由和可知

在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

当时，易知，当时，则，这与矛盾，

从而不能使恒成立，所以．

（Ⅱ） ，因为，

所以 ，所以

，

，

，

所以 ，

令，，，在上增，在上减，

，所以，整理得，

解得或（舍），所以得证．