Question

命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．命题r：a满足．

（1）若p∨q是真命题且p∧q是假题．求实数a的取值范围．

（2）试判断命题￢p是命题r成立的一个什么条件．

Answer

(1) a的范围是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1 (2) 命题¬p是命题r成立的一个充分不必要条件．

【解析】试题分析：根据三个命题的要求解出的范围，首先不等式的解集为空集说明判别式小于零，指数函数为增函数说明底数大于1，按照分式不等式的解法解不等式，落实三个命题所表示的的范围；再根据对命题和的要求，判断出对命题的要求，限制的范围；根据所表示的集合与所表示的集合的包含关系确定是成立的条件.

试题解析：

关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，

∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，

即3a2+2a﹣1＞0，

解得a＜﹣1或a＞，

∴p为真时a＜﹣1或a＞ ；

又函数y=（2a2﹣a）x为增函数，

∴2a2﹣a＞1，

即2a2﹣a﹣1＞0，

解得a＜﹣或a＞1，

∴q为真时a＜﹣或a＞1；

（1）∵p∨q是真命题且p∧q是假命题，∴p、q一真一假，

∴当P假q真时， ，即﹣1≤a＜﹣；

当p真q假时， ，即＜a≤1；

∴p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的范围是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；

（2）∵，

∴，

即 ，

解得﹣1≤a＜2，

∴a∈[﹣1，2），

∵¬p为真时﹣1≤a≤，

由[﹣1，）是[﹣1，2）的真子集，

∴¬p⇒r，且r≠＞¬p，

∴命题¬p是命题r成立的一个充分不必要条件．