Question

如图所示，正方体的棱长为1， 分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于，设, ，给出以下四个命题：

①

②当且仅当时，四边形的面积最小；

③四边形周长, ，则是奇函数；

④四棱锥的体积为常函数；

其中正确命题的个数为（    ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】①连结 ，则由正方体的性质可知， 平面 ，所以，所以正确．
②因为，四边形 的对角线 是固定的，所以要使面积最小，则只需 的长度最小即可，此时当 为棱的中点时，即 时，此时 长度最小，对应四边形 的面积最小．所以②正确．
③因为 ，所以四边形 是菱形．函数

为偶函数，故③不正确．

④连结 ，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以 为底，以 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形 的面积是个常数． 到平面的距离是个常数，所以四棱锥 的体积 为常函数，所以④正确．
故选C．