Question

如图，正三棱锥，已知，

（1）求此三棱锥内切球的半径.

（2）若是侧面上一点，试在面上过点画一条与棱垂直的线段，并说明理由．

Answer

(1)半径为 ;(2) 过作线段平行于，则为所求，证明见解析.

【解析】试题分析; （1）过作平面，垂足为，由正三棱锥的性质可得为底面正三角形的中心，，求解三角形可得，进一步得到，求得，再由棱锥体积公式求得正三棱锥 的体积,最后 可求此三棱锥内切球的半径；
（2）由（1）结合线面垂直的判定可得 ，得到 ，过 作线段平行于 ，则为所求．

试题解析;（1）如图，过作平面，垂足为，

∵为正三棱锥，∴为底面正三角形的中心，

连接并延长交于，

则，且，

∴，则．

∴ ；

（2）过作线段平行于，则为所求．

理由：∵为正三棱锥，

过作平面，垂足为，

∴为底面正三角形的中心，

则， ，

∴平面，则，

∵ ，

∴．