Question

如图甲所示， 是梯形的高， ， ， ，先将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得，点是线段上一动点.

（1）证明： ；

（2）当时，求与平面所成角的正弦值.

Answer

(1)见解析;(2) 角的正弦值为 .

【解析】试题分析：（1）由勾股定理可证，又，由直线与平面垂直的判定定理，

可证以平面,所以，进而证明平面

（2）因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的一半

作 交于点，连接、，可求出，作 交于，

求得，而

，而，可知平面

再由点到平面距离为， 点到平面的距离为，

而，所以与平面所成角的正弦值为.

试题解析：（1）因为是梯形的高， ，

所以

因为， ，

可得，

如图乙所示， ， ， ，

所以有，所以

而， ，

所以平面,所以

又，所以、、两两垂直．

所以平面

（2）因为，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离的一半

作交于点，连接、，

则，

作交于，

则，而

，

而，由， 平面

可知平面

再由点到平面距离为，

点到平面的距离为，

而

所以与平面所成角的正弦值为.