Question

如图所示，在四棱锥中， 平面是的中点， 是上的点且为边上的高.

（1）证明： 平面；

（2）若，求三棱锥的体积；

（3）在线段上是否存在这样一点，使得平面?若存在，说出点的位置.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）中点.

【解析】试题分析：（1）平面， 为中边上的高， ，由线面垂直的判定定理能够证明平面；（2）连接，取中点，连接是中点， ， 平面， 平面，由根据棱锥的体积公式能够求出三棱锥的体积；（3）取的中点，连接，则因为是的中点，先证明，再证明以平面，可得面，即 与 重合时符合题意.

试题解析：（1），又平面，平面，

又，平面

（2）是的中点，到平面的距离等于点到平面距离的一半，即=，又因为，所以三棱锥；

（3）取的中点，连接、，则因为是的中点，所以，且，又因为且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，由（1）知平面，所以,又因为，所以，因为，所以平面，因为ED//DQ，所以面．M为PB中点.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及棱锥的体积公式，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.