Question

已知数列为公差不为的等差数列， 为前项和， 和的等差中项为，且．令数列的前项和为．

（1）求及；

（2）是否存在正整数成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ），

（Ⅱ）当可以使成等比数列．

【解析】试题分析：（1）由于和的等差中项为，可得，又．利用等差数列通项公式将其转化为表示，解方程组求出其值，进而得到，结合通项公式特点可采用裂项相消法求和；

（2）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，则，当m=2时，化为，解得一组m，n的值满足条件．当m≥3时，由于关于m单调递增，可知，化为5n+27≤0，由于n＞m＞1，可知上式不成立

试题解析：（Ⅰ）因为为等差数列，设公差为，则由题意得

整理得

所以

由

所以

（Ⅱ）假设存在

由（Ⅰ）知， ，所以

若成等比，则有

，（1）

因为，所以，

因为，当时，带入（1）式，得；

综上，当可以使成等比数列．