Question

已知单调递增的等比数列满足： ，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为 , 成立的正整数的最小值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）（1）根据等比数列满足： ， 列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）先求数列的通项公式，利用错位相减法求得前项和为，将再代入整理，解不等式即可求出成立的正整数的最小值.

试题解析：（1）设等比例列的首项为，公比为q

依题意，有，解之得或，

又数列单调递增，

（2）依题意，

①

②

由①—②得：

， ，即， 当时， ；当时， ， 使，成立的正整数的最小值为.

【 方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.