Question

在如图所示的多面体中， 平面， 平面， ，且， 是的中点．

（Ⅰ）求证： ．

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析（2）（3）点为棱的中点．

【解析】试题分析：（1）由等腰三角形性质得，再由平面，得，从而根据线面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空间向量研究二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求出两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系求二面角的余弦值．（3）先设N坐标，根据向量数量积求直线方向向量与平面法向量夹角，再根据线面角与向量夹角关系列方程，解出N坐标，最后确定N位置

试题解析：（Ⅰ）证明：∵， 是的中点，

∴，

又平面，

∴，

∵，

∴平面，

∴．

（Ⅱ）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系．则：

， ， ， ， ，

， ， ， ，

设平面的一个法向量，

则： ，

取， ， ，所以，

设平面的一个法向量，则：

取， ， ，所以，

．

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

（Ⅲ）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，

设且， ，

∴，

∴， ， ，

∴，

若直线与平面所成的的角为，则： ，

解得，

所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，

点为棱的中点．