Question

已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若存在与函数的图象都相切的直线，求实数的取值范围.

Answer

（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）

【解析】试题分析：（1）对函数求导研究单调性，进而得到极值；（2）问题转化为有解求参数的范围，对函数求导研究函数的单调性，进而得到函数的图像，从而得到参数范围.

解析：

（1）函数的定义域为

当时，，

所以

所以当时，，当时，，

所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，

所以当时，函数取得极小值为，无极大值；

（2）设函数上点与函数上点处切线相同，

则

所以

所以，代入得：

设，则

不妨设则当时，，当时，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

代入可得：

设，则对恒成立，

所以在区间上单调递增，又

所以当时，即当时,

又当时

因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；

即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．

又由得：

所以单调递减，因此

所以实数的取值范围是．