Question

设数列的通项公式为（， ），数列定义如下：对于正整数， 是使得不等式成立的所有中的最小值.

（1）若， ，求；

（2）若， ，求数列的前项和公式；

（3）是否存在和，使得 ？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）和的取值范围分别是， .

【解析】（Ⅰ）由题意，得，解，得. ---------------2分

∴成立的所有n中的最小整数为7，即.-----------4分

（Ⅱ）由题意，得，对于正整数，由，得. -------------------6分

根据的定义可知：当时， ；当时， .

∴

. ---------------------9分

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.------10分

∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m都有

，即对任意的正整数m都成立.

当（或）时，得（或），----12分

这与上述结论矛盾！

当，即时，得，解得.

∴ 存在p和q，使得；

p和q的取值范围分别是， . ----------14分