Question

已知圆： 与定点， 为圆上的动点，点在线段上，且满足.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设曲线与轴正半轴交点为，不经过点的直线与曲线相交于不同两点， ，若.证明：直线过定点.

Answer

(1) ;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求轨迹方程；（2）如果与轴不垂直，可设，将代入得 由题设可知设则

利用，得到，从而明确直线过定点.

试题解析：

（Ⅰ）由已知，则,

则点的轨迹是以为焦点的椭圆，可设的方程为： ，

由已知可得，则点的轨迹的方程为： ．

（Ⅱ）①如果与轴垂直，设，由题知，可得，又，

则 得或舍去，则

②如果与轴不垂直，可设，将代入得 由题设可知

设则

又，

由，

故，

得

即，则

解得或（舍去）

时，满足，于是即，恒过定点

又，也过点

综上可知，直线恒过定点，故得证.