Question

如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且，交于点，是上任意一点．

（1）求证：；

（2）若为的中点，且二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）先求证AC⊥平面PBD，再证AC⊥DE.(2)先证明 EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求出EC与平面PAB所成角的正弦值.

（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，

因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，

又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，

因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．

（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，

所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），

E（0，0，），P（0，﹣，t）．

设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），

则 ，令，得，

平面PBD的法向量（1，0，0），

因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，

所以 ，

所以或（舍），

则

∴，

∴EC与平面PAB所成角的正弦值为．