Question

已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x²+y²=4相交于不重合的A、B两点，O是坐标原点，且三点A、B、O构成三角形．

（1）求k的取值范围；

（2）三角形ABO的面积为S，试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；

（3）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

Answer

（1）且；（2）S=（且）； （3）S的最大值为2，取得最大值时.

【解析】

（1）解不等式(2)先求出dOM=和|AB|，再将S表示成k的函数，并求出它的定义域.(3) 设k2+1=t（t≥1），则,再利用二次函数的图像和性质求函数的最大值和k的值.

（1）由题意，dOM= ，

∵三点A、B、O构成三角形，

∴，

∴﹣1＜k＜1且k≠0.

（2）直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，

∴dOM=，

∴|AB|=，

∴S=dOM=••= （且）；

（3）设k2+1=t（t≥1），则 ，

∴，即t=时，， ，

∴S的最大值为2，取得最大值时．