Question

如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，   .

（1）证明： ；

（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.

Answer

(1)见解析；(2)

【解析】试题（1）取的中点为，连接，由正三角形性质得，由矩形的性质得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（2）的方向为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角的余弦公式可得结果.

试题解析：（1）取的中点为，连接， 为等边三角形， .底面中，可得四边形为矩形， ， 平面， 平面.又，所以.

（2）由面面知， 平面， 两两垂直，直线与平面所成角为，即，由，知，得.分别以的方向为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， 设平面的法向量为.，则，设平面的法向量为， ，则， ,由图可知二面角的余弦值.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.