Question

已知函数．

(1)当时，取得极值，求的值．

(2)当函数有两个极值点时，总有成立，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

试题⑴求导后，代入，取得极值，从而计算出的值，并进行验证(2)由函数有两个极值点算出，继而算出，不等式转化为，构造新函数，分类讨论、、时三种情况，从而计算出结果

解析：（Ⅰ），，则

检验时，，

所以时，，为增函数；

时，，为减函数，所以为极大值点

（Ⅱ）定义域为，有两个极值点，则在上有两个不等正根

所以，所以

.所以，所以

这样原问题即且时，成立

即

即

即，即

且

设

①时，，

所以在上为增函数且，

所以，时，不合题意舍去.

②时，同①舍去

③时

（ⅰ），即时可知，在上为减函数且，

这样时，，时，

这样成立

（ⅱ），即时分子中的一元二次函数的对称轴开口向下，且1的函数值为

令，则时，，为增函数，

所以，故舍去

综上可知：