Question

对于任意给定的无理数、及实数，证明：圆周上至多只有两个有理点（纵、横坐标均为有理数的点）。

Answer

见解析

【解析】

对于点，用表示上述圆周上有理点的个数.

首先，可以作一个符合条件得圆，其上至少有两个有理点，

为此，取点，.则线段中垂线.

在直线上取点，再取.则以为圆心、为半径的圆周上至少有、这连个有理点.

其次说明，对于任何无理点以及任意正实数，.

假设有无理点及正实数，在以为圆心、为半径的圆周上，至少有三个有理点.

则. ①

故， ②

③

记，.

则.

（1）若，则由式②知.

由为无理数，得.故点与重合，矛盾.

类似地，若，得点与重合，矛盾.

（2）若，，由式②、③消去得

.

又为无理数，故.

则、、三点共线，这与、、三点共圆矛盾.

因此，假设不真，即这种圆上至多有两个有理点.

于是，对于所有的无理点及所有正实数，的最大值为2.