Question

若集合的子集A中的每个元素均可表为两个自然数（允许相同）的平方和，求集合A中元素个数的最大值.

Answer

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【解析】

注意到，不超过200的平方数为.

首先，中的每个数可表为的形式，这种数共有14个；

而中的每一对数（允许相同）的和在集合M中，这种数有个，

其中，形式的数10个， 形式的数个.

其次，形式的数8个，

形式的数7个，

形式的数5个，

形式的数2个，

共计22个.

再考虑重复的情形：注意到，若，

则.

不超过40且能表示为两个不同正整数的平方和的数有5、10、13、17、20、25、26、29、34、37、40，

该组中的每个数与5的积，以及均在集合M中，且均可用两种方式表示为平方和，

故各被计算了两次，累计有12次重复（10、13、17、20与10的积已包含在以上乘积组中）.

因此，集合A中元素个数的最大值为.