Question

已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）

Answer

②③④

【解析】

利用ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．

①数集中，，故数集不具有性质；

②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；

③若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，
而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴a1=0；故③正确；

④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5，
由A具有性质P，a5-ai∈A，又i=1时，a5-a1∈A，
∴a5-ai∈A，i=1，2，3，4，5
∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，
则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，
从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，

即答案为②③④.