Question

已知，设，，（，为常数）.

（1）求的最小值及相应的的值；

（2）设，若，求的取值范围；

（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.

Answer

（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）代入利用基本不等式即可得出；

（2） ，若，即方程没有实根或没有正实根，由此可求的取值范围；

（3）由于b＞a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得 对x＞0恒成立，结合 即可得出．

（1） 。当且仅当时等号成立；

（2），，即方程没有实根或没有正实根，当方程没有实根时，

当方程没有正实根时， 解得

综上，.

（3）由于b＞a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得 ，即 对x＞0恒成立．
化为 对x＞0恒成立，

则 ，当且仅当时等号成立；

故

，故

综上.