Question

已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可得 0≤f（x）≤7，即0≤|x﹣1|≤7，﹣7≤x﹣1≤7，由此求得x的范围；

（2）利用绝对值三角不等式求得g（x）=|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，可得m2﹣2m≤3，由此求得m的范围．

（1）由|f（x）﹣3|≤4 知﹣4≤f（x）﹣3≤4，即﹣1≤f（x）≤7．

又f（x）≥0，故 0≤f（x）≤7，∴0≤|x﹣1|≤7，﹣7≤x﹣1≤7，∴﹣6≤x≤8，

∴所求不等式的解集为．

（2）由f（x）+f（x+3）≥m2﹣2m，即|x﹣1|+|x+2|≥m2﹣2m恒成立．

令g（x）=|x﹣1|+|x+2|，则g（x）的最小值为|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，

∴m2﹣2m≤3，求得﹣1≤m≤3，

∴m的取值范围是．