Question

已知函数  

（1）求在上的最小值；   

（2）若关于的不等式有且只有三个整数解，求实数的取值范围．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数f（x）在闭区间上的最小值即可；

（2）根据f（x）的单调性，通过讨论n的符号，解关于f（x）的不等式结合不等式解的个数，求出n的范围即可．

【解析】
（1），令，得的递增区间为；令，得的递减区间为

，则当时，在上为增函数，的最小值为；

当时，在上为增函数，在上为减函数，又，

若，的最小值，若，的最小值为，

综上，当时，的最小值为；若，的最小值为

（2）由（1）知，的递增区间为，递减区间为，且在上，，又，则，又时，由不等式得或，而的解集为，整数解有无数多个，不合题意；

时，由不等式，得，解集为，整数解有无数多个，不合题意；

时由不等式，得或，的解集为无整数解，若不等式有且只有三个整数解，在递增，在递减，而，而，所以，三个正整数1，2，3，而，综上，实数的取值范围是.