Question

已知函数．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）对于任意的，的图象恒在图象的上方，求实数a的取值菹围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）由题意得在恒成立，令，则需求出函数的最小值即可，但由于的零点不易求出，故通过再次求导的方法逐步求解，进而求得的最小值．

（1）当时，，

∴，

∴，

又，

∴函数在点处的切线方程为，

即．

（2）由题知当时，恒成立，

即当时，恒成立，

等价于在恒成立．

令，

则，

令，则，

∴在上单调递增，且，

存在唯一零点，

使得，

且当时，，单调递减；当时，，单调递增．

∴．

由，得，

∴，

即．

设，则,

∴在单调递增．

∴，

∴，

∴ ,

∴．

∴．

故实数的取值范围为．