Question

已知函数．

当时，求函数在点处的切线方程；

当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

(1)把代入原方程可得，可得，，可得函数在点处的切线方程；

(2)，分，两种情况讨论，结合函数的单调性及对任意都有，可得a的取值范围.

解当时，，，

，，

切线方程为：，

整理得：．

．

在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．

当时，函数在上单调递增．

函数在上的最大值是，

由题意得，解得：，

，此时a的值不存在；

当时，，此时在上递增，在上递减．

函数在上的最大值是，

由题意得，解得：．

综上，a的取值范围是．