Question

设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若为正数，且存在使得，求的取值范围.

Answer

(1)见解析(2)

【解析】

（1）求出函数的定义域，求导，讨论k的取值，分别解出，即可得出；

（2）由（1）可求得函数的最小值，，将其转化成，构造函数，判断其单调性，即可求得的取值范围.

（1），（），

①当时，，在上单调递增；

②当时，，；，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）因为，由（1）知的最小值为，

由题意得，即.

令，则，

所以在上单调递增，又，

所以时，，

于是；

时，，于是.

故的取值范围为.