Question

以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为（是参数），圆的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线与直线的交于，两点，若点的直角坐标为，求的值.

Answer

(Ⅰ) （Ⅱ）

【解析】

（1）直线的参数方程消去参数，能求出直线的普通方程；利用极坐标与直角坐标的互化关系即可得到圆C的直角坐标；

（2）点在直线上，且在圆内，直线的参数方程是，代入，得，由此能求出的值.

（Ⅰ）直线的普通方程为：，

，所以.

所以曲线的直角坐标方程为

（或写成）.

（Ⅱ）点在直线上，且在圆内，由已知直线的标准参数方程是代入，

得，设两个实根为，，则，，即，异号.

所以.