Question

求出所有非零整数，使得是一个整数。其中，表示的最大公因数。

Answer

见解析

【解析】

设，与互质。则

下面对分三种情形讨论:

1.若，则，

.

令。则。从而，是本题的解.

2.若，则由式①得

由式②可得（假若，则由式②得，这与及矛盾）.

ⅰ.若，则

.

故也是本题的解.

ⅱ.若，则

故也是本题的解.

ⅲ.若，则由式②得，

即，

，，

.

所以，.

代入式①得

（2与互质）

.

又因为，所以，.

经检验知符合题设条件.

3.若，则由式①得

ⅰ.若，则

，

即。

但这与，即矛盾.

ⅱ.若，且，则由式③得，

即.

故，

即.

这与且矛盾.

ⅲ.若，且，则在2的ⅰ和ⅱ中已讨论过.