Question

已知，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点在椭圆上，其中，且点是椭圆位于第一象限的交点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过轴上一点的直线与椭圆相切，与椭圆交于点，已知，求直线的斜率.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意得c=b,, 将点代入椭圆C1，可得a，b，从而得到椭圆的方程；（2）设直线l为y＝kx+m，代入椭圆C2，由判别式为0，可得m，k的关系式，由直线方程和椭圆C1方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，可得m,k的第二个关系，解方程组可得直线方程．

（1）如下图所示，依题意，得，所以，，

所以，椭圆为：，将点代入，解得：，

所以，.

（2）设斜率为，则直线方程为：，设，

，

，

，

，又

或，

故方程为：或.